2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷 和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦 干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式: ·如果事件 A, B 互斥, 那么 P( A �B)  P( A)  P( B) ·棱柱的体积公式 V=Sh， 其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱 柱的高. ·如果事件 A, B 相互独立, 那么 P( AB)  P( A) P( B ) 4 ·球的体积公式 V   R 3 . 3 其中 R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A �B  (A) (�, 2] (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 3x  y  6 �0, � � (2) 设变量 x, y 满足约束条件 �x  y  2 �0, 则目标函数 z �y  3 �0, � = y－2x 的最小值为 (A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入 x 的值 为 1, 则输出 S 的值为 (A) 64 (C) 512 (4) 已知下列三个命题: (B) 73 (D) 585 ① 若一个球的半径缩小到原来的 1 , 则其体积缩小到原来 2 1 的 ; 8 ② 若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; 2 2 ③ 直线 x + y + 1 = 0 与圆 x  y  其中真命题的序号是: (A) ①②③ (C) ①③ (5) 已知双曲线 1 相切. 2 (B) ①② (D) ②③ x2 y 2   1(a  0, b  0) 的两条渐近线与抛物线 y 2  2 px( p  0) 的准线分别交于 a2 b2 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = (A) 1 (B) (6) 在△ABC 中, �ABC  (A) 10 10 3 2 (C) 2 (D) 3  , AB  2, BC  3, 则 sin�BAC = 4 (B) 10 5 (C) 3 10 10 (D) 5 5 (7) 函数 f ( x)  2 x | log 0.5 x | 1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 �1 1�  , ��A , (8) 已知函数 f ( x)  x(1  a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x  a)  f ( x) 的解集为 A, 若 � � 2 2� 则实数 a 的取值范围是 2 � 1 5 � (A) � � 2 ,0 � � � � � 1 3 � (B) � � 2 ,0 � � � � � 1 5 � � 1 3 � 0, (C) � � � 2 ,0 � ��� � � � � � 2 � � 1 5 � �, (D) � � � 2 � � � 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题, 共 110 分. 二．填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. (9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi = . 6 � 1 � (10) �x  � 的二项展开式中的常数项为 x� � . �� 4, �, 则|CP| = (11) 已知圆的极坐标方程为   4cos  , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 � � 3� (12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, �BAD  60�, E 为 CD 的中点. uuur uuu r 若 AC · BE ＝1, 则 AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 . (14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = 时, 1 |a|  取得最小值. 2|a| b 三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) � � 2 x  � 6sin x cos x  2cos 2 x  1, x �R . 已知函数 f ( x)   2 sin � 4� � (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; �� 0, �上的最大值和最小值. (Ⅱ) 求 f(x)在区间 � � 2� 3 . (16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号分别 为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. (17) (本小题满分 13 分) 如 图 , 四 棱 柱 ABCD － A1B1C1D1 中 , 侧 棱 A1A⊥ 底 面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1－CE－C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 , 求线段 AM 的长. 6 (18) (本小题满分 13 分) 设椭圆 x2 y 2 3  2  1(a  b  0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 2 a b 3 4 3 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点 , 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点 . 若 uuur uuur uuur uuu r AC··8 DB  AD CB  , 求 k 的值. 截得的线段长为 (19) (本小题满分 14 分) 已知首项为 3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n �N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + 2 a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn  Sn  1 (n �N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x)  x 2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t  f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s  g (t ) , 证明: 当 t >e2 时, 有 4 2 ln g (t ) 1   . 5 ln t 2 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (天津卷) 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D 解 析 ： 解 不 等 式 |x|≤2 ， 得 － 2≤x≤2 ， 所 以 A ＝ {x| － 2≤x≤2} ， 所 以 A∩B ＝ {x| － 2≤x≤1}．故选 D. 2． 答案：A 3x  y  6 �0, � � x  y  2 �0, 所表示的可行区域 ， 解 析 ： 作约束条件 � �y  3 �0 � 如图所示，z＝y－2x 可化为 y＝2x＋z，z 表示直线在 y 轴上的截距，截距越大 z 越大，作直线 l0 ：y＝2x， 平移 l0 过点 A(5,3)，此时 z 最小为－7，故选 A. 3． 答案：B 解 析 ： 由程序框图，得 x＝1 时，S＝1；x＝2 时，S ＝9；x＝4 时，S＝9＋64＝73，结束循环输出 S 的值 为 73，故选 B. 4． 答案：C 1 4 R ， 而 V ＝ πR 3 ， V′ ＝ 2 3 3 1 4 3 4 �1 � 1 4 3 πππ r  � R � � R ，所以该球体积缩小到原来的 8 ，故①为真命题；两组数据 3 3 �2 � 8 3 1 的平均数相等，它们的方差可能不相等，故②为假命题；圆 x2＋y2＝ 的圆心到直线 x＋y 2 1 2 ＋1＝0 的距离 d＝ ，因为该距离等于圆的半径，所以直线与圆相切，故③为真命  2 2 解析：设球半径为 R，缩小后半径为 r，则 r＝ 题．故选 C. 5． 答案：C 5 解析：设 A 点坐标为(x0，y0)，则由题意，得 S△AOB＝|x0|·|y0|＝ 3 .抛物线 y2＝2px 的准线 为 x p p b bp ， 所 以 x0   ， 代 入 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 y  � x ， 得 |y0| ＝ .由 2 2 a 2a �c �  2, 3 .所以 S ＝ 3 2 得 b＝ 3a ，所以|y0|＝ △AOB p p  3 ，解得 p＝2 或 p＝ �a 2 2 2 2 4 � a b  c , � －2(舍去)． 6． 答案：C 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝ 2  9  2 � 2 �3 � AC BC 2 ＝5，即得 AC＝ 5 .由正弦定理  ，即 sin �ABC sin �BAC 2 5