2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科 （新课标卷二Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 M=｛0,1,2｝，N=  x | x 2  3 x  2≤ 0 ，则 M �N =( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2.设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk z1  2  i ，则 z1 z2  （ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则 a � b=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ，AB=1，BC= 2 ，则 AC=( ) 2 A. 5 C. 2 D. 1 B. 5 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两为优良 的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空 气质量为优良的概率是（ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm）,图中 粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体 积与原来毛坯体积的比值为（ ） 10 A. 17 B. 5 C. D. 1 27 9 3 27 7.执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S= （ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x，则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 �x  y  7≤ 0 � 9.设 x,y 满足约束条件 �x  3 y  1≤ 0 ，则 z  2 x  y 的最大值为 � 3 x  y  5≥ 0 � ） （ ） A. 10 B. 8 C. 3 D. 2 10.设 F 为抛物线 C: y 2  3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点，O 为 坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 3 3 B. 9 3 C. 63 D. 9 32 4 8 4 11. 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ， ∠ BCA=90° ， M ， N 分 别 是 A1B1 ， A1C1 的 中 点 ， BC=CA=CC1， 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 1 10 B. 2 5 C. 30 10 D. 2 2 x 2 12.设函数 f  x   3 sin .若存在 f  x  的极值点 x0 满足 x0 2  � �f  x0  � � m ，则 m 的取 m 值范围是（ ） A.  �, ȥ6   6,  B.  �, ȥ4   4,  C.  �, ȥ2   2,  D.  �, ȥ1  4,  2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生必须做 答 . 第 22 题 ~ 第 24 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 做 答 . 本 试 题 由 http://gaokao.ccutu.com 整理 二.填空题 13.  x  a  的展开式中， x 7 的系数为 15，则 a=________.(用数字填写答案) 10 14.函数 f  x   sin  x  2   2sin  cos  x    的最大值为_________. 15.已知偶函数 f  x  在  0, � 单调递减， f  2   0 .若 f  x  1  0 ，则 x 的取值范围是__ ________. 16.设点 M（ x0 ,1），若在圆 O: x 2  y 2  1 上存在点 N，使得 zxxk∠OMN=45°，则 x0 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列  an  满足 a1 =1， an 1  3an  1 .   （Ⅰ）证明 an  1 是等比数列，并求  an  的通项公式； 2 1  1  …+ 1  3 （Ⅱ）证明： a a an 2 . 1 2 18. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面 AEC； （Ⅱ）设二面角 D-AE-C 为 60°，AP=1，AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD 的体积. 19. （本小题满分 12 分） 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭 收入 y（单位：千元）的数据如下表： 2007 2008 2009 2010 2011 2012 年份 1 2 3 4 5 6 年份代号 t 人均纯收入 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 y 纯 2013 7 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯 收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： n � b � t  t   y  y  i 1 i i n  � t i 1 i t 2 ˆ ， â  y  bt 20. （本小题满分 12 分） 2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 C: x 2  2  1 a  b  0  的左,右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂 a b 直，直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 （Ⅰ）若直线 MN 的斜率为 ，求 C 的离心率； 4 （Ⅱ）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 MN  5 F1 N ，求 a,b. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f  x  = e x  e  x  2 x zxxk （Ⅰ）讨论 f  x  的单调性； （Ⅱ）设 g  x   f  2 x   4bf  x  ，当 x  0 时， g  x   0 ,求 b 的最大值； （Ⅲ）已知 1.4142  2  1.4143 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题 计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分 10）选修 4—1：几何证明选讲 如图，P 是 e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线 PBC 与 e O 相交于点 B，C，PC=2PA，D 为 PC 的中点，AD 的 延长线交 e O 于点 E.证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD � DE=2 PB 2 23. （本小题满分 10）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为   2 cos  ，  �� 0,  � .zxxk � 2� （Ⅰ）求 C 的参数方程； （Ⅱ）设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l : y  3x  2 垂直，根据（Ⅰ）中你得到 的参数方程，确定 D 的坐标. 24. （本小题满分 10）选修 4-5：不等式选讲 1 设函数 f  x  = x   x  a (a  0) a （Ⅰ）证明： f  x  ≥ 2； （Ⅱ）若 f  3  5 ，求 a 的取值范围. 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 壱、 选择题 （1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 弐、 填空题 （13） 1 2 （14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1] 三、解答题 （17）解： 1 1  3( am  ). 2 2 1 3 1 3 又 a1   ，所以，{ am  } 是首项为 ，公比为 3 的等比数列。 2 2 2 2 （1）由 am 1  3am  1 得 am 1  （7）D 1 3m 3m  1 = ，因此{ an }的通项公式为 am = 2 2 2 1 2 （2）由（1）知 = m am 3  1 1 1 � 因为当 n �1 时， 3m  1 �2 �3m1 , 所以， m 3  1 2 �3m1 1 1 1 1 1 �1   L  m 1 = 3 (1  1m )  3 于是，   L  a1 a2 am 3 3 2 3 2 1 1 1 3  所以，   L  a1 a2 am 2 am  （18）解： （1）连结 BD 交 AC 于点 O,连结 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为的 PD 的中点，所以 EO PPB EO �平面 AEC,PB �平面 AEC，所以 PB P平面 AEC （2）因为 PA  平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB,AD,AP 两两垂直 uuuv uuuv 如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， AP 为单位长，建立空间直角坐 标系，则 A—xyz,则 D(0, 3 ,0),则 E(0, 3 1 uuuv , ), AE =(0, 2 2 1 3, ) 2 2 设 B(m,0,0)(m＞0)，则 C（m, 3 ，0） 设 n(x,y,z)为平面 ACE 的法向量， uuur mx  3 y  0 n1 �AC  0 uuur 则{ 即{ 3 1 n1 �AE  0 y z 0 2 2 3 可取 n1 =（ ,-1, 3 ） m 又 n1 =（1,0,0）为平面 DAE 的法向量， 1 由题设 cos(n1 , n2 ) = ，即 2 1 3 3 = ，解得 m= 2 2 2 3  4m 因为 E 为 PD 的中点，所以三棱锥 E-ACD 的高为 1 1 3 1 3 V= � � 3 � � = 3 2 2 2 8 19 解： （1） 由所得数据计算得 1 ，三棱锥 E-ACD