教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1 ． （ 5 分 ） 设 集 合 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 集 合 A={1 ， 2} ， 则 ∁UA=（　　） A．{1，2} B．{3，4，5} 2．（5 分）若 α 为第二象限角，sinα= A． B． C．{1，2，3，4，5} D．∅ ，则 cosα=（　　） C． D． 3．（5 分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则 λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 4．（5 分）不等式|x2﹣2|＜2 的解集是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D． （﹣2，0）∪（0，2） 5．（5 分）（x+2）8 的展开式中 x6 的系数是（　　） A．28 B．56 C．112 D．224 6 ． （ 5 分 ） 函 数 f （ x ） =log2 （ 1+ ） （ x ＞ 0 ） 的 反 函 数 f﹣ 1 （x）=（　　） A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x ＞0） 7．（5 分）已知数列{an}满足 3an+1+an=0，a2=﹣ ，则{an}的前 10 项和 等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 8．（5 分）已知 F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 直于 x 轴的直线交椭圆于 A、B 两点，且|AB|=3，则 C 的方程为（　　） A． B． C． D． 9．（5 分）若函数 y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则 ω=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（5 分）已知曲线 y=x4+ax2+1 在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为 8，a=（　　） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 11．（5 分）已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于（　　） A． B． C． D． 12．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（﹣2，2），过点 F 且 斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 A． B． ，则 k=（　　） C． D．2 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．（5 分）设 f（x）是以 2 为周期的函数，且当 x∈[1，3）时，f（x）=x ﹣2，则 f（﹣1）=　 　． 14．（5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三 等奖，则可能的决赛结果共有　 　种．（用数字作答） 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 15 ． （ 5 分 ） 若 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ， 则 z=﹣x+y 的 最 小 值 为 ． 16．（5 分）已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 O 的 半径， ，则球 O 的表面积等于 ． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10 分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9， （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn= ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 18．（12 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足 （a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求 B． （Ⅱ）若 sinAsinC= ，求 C． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 19 ． （ 12 分 ） 如 图 ， 四 棱 锥 P﹣ABCD 中 ， ∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD 都是边长为 2 的等边三 角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求点 A 到平面 PCD 的距离． 20．（12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当 裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概 率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第 1 局甲当裁判． （Ⅰ）求第 4 局甲当裁判的概率； （Ⅱ）求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率． 21．（12 分）已知函数 f（x）=x3+3ax2+3x+1． （Ⅰ）求 a= 时，讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求 a 的取值范围． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 22．（12 分）已知双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别 为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 ． （I）求 a，b； （II）设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点，且|AF1|=| BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 　 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2013 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1 ． （ 5 分 ） 设 集 合 U={1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， 集 合 A={1 ， 2} ， 则 ∁UA=（　　） A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅ 【考点】1F：补集及其运算． 菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项 【解答】解：因为 U={1，2，3，4，5，}，集合 A={1，2} 所以∁UA={3，4，5} 故选：B． 【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键 　 2．（5 分）若 α 为第二象限角，sinα= A． B． ，则 cosα=（　　） C． D． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系． 菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由 α 为第二象限角，得到 cosα 小于 0，根据 sinα 的值，利用同角三 角函数间的基本关系即可求出 cosα 的值． 【解答】解：∵α 为第二象限角，且 sinα= ， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ∴cosα=﹣ ． =﹣ 故选：A． 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题 的关键． 　 3．（5 分）已知向量 =（λ+1，1）， =（λ+2，2），若（ + ）⊥（ ﹣ ），则 λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系． 菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵ ∴ ， ． ． =（2λ+3，3）， ∵ ， ∴ =0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得 λ=﹣3． 故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 　 4．（5 分）不等式|x2﹣2|＜2 的解集是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D． （﹣2，0）∪（0，2） 【考点】R5：绝对值不等式的解法． 菁优网版权所有 【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用． 【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可． 【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2 的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2 的解集， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 即 0＜x2＜4， 解得 x∈（﹣2，0）∪（0，2）． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力． 　 5．（5 分）（x+2）8 的展开式中 x6 的系数是（　　） A．28 B．56 C．112 D．224 【考点】DA：二项式定理． 菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 6 求出 x6 的 系数． 【解答】解：（x+2）8 展开式的通项为 T =C r+1 x 8﹣r 2 r 令 8﹣r=6 得 r=2， ∴展开式中 x6 的系数是 2 2C82=112． 故选：C． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工 具． 　 6 ． （ 5 分 ） 函 数 f （ x ） =log2 （ 1+ ） （ x ＞ 0 ） 的 反 函 数 f﹣ 1 （x）=（　　） A． B． C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x ＞0） 【考点】4R：反函数． 菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】把 y 看作常数，求出 x：x= ，x，y 互换，得到 y=log2（1+ 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ）的反函数．注意反函数的定义域． 【解答】解：设 y=log2（1+ ）， 把 y 看作常数，求出 x： 1+ =2y，x= ，其中 y＞0， x，y 互换，得到 y=log2（1+ ）的反函数：y= ， 故选：A． 【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式 和指数式的相互转化． 　 7．（5 分）已知数列{an}满足 3an+1+an=0，a2=﹣ ，则