2013 北京高考理科数学试题 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则 A∩B= ( A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 2.在复平面内，复数(2－i)2 对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A.1 B. 2 3 C. 13 21 D. ) 610 987 5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)= A. e x1 B. e x1 6.若双曲线 A.y=±2x C. e  x 1 D. e  x 1 x2 y 2   1 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为 a2 b2 B.y= � 2x 1 2 C. y  � x D. y  � 2 x 2 7.直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 A. 4 3 B.2 C. 8 3 D. 16 2 3 2 x  y  1  0, � � x  m  0, 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)满足 x0－2y0=2，求得 m 的 8.设关于 x,y 的不等式组 � �y  m  0 � 取值范围是 � � �,  A. � 4� � 1� �, � C. � B. � 3� � 3� 2� � �,  � D. � 3� � 5� � �,  � � 3� � 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 题，每小题 5 分，共 30 分. 9.在极坐标系中，点(2，  )到直线 ρsinθ=2 的距离等于 6 10.若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比 q= . ；前 n 项和 Sn= 11.如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的切线，PB 与圆 O 相交于 D，PA=3， ，AB= PD 9  ，则 PD= DB 16 . 12.将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同一人的两张 参观券连号，那么不同的分法种数是 . 13.向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=λa＋μb(λ，μ∈R) ，则  =  14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演 过程 15. (本小题共 13 分) 2013 年普通高等学校招生统一考试 算步骤或证明 在△ABC 中，a=3，b=2 6 ，∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值， (II)求 c 的值 16.( 本小题共 13 分) 下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空 气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并 停留 2 天 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （Ⅱ）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望。 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17. (本小题共 14 分) 如 图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ， AA1C1C 是 边 长 为 4 的 正 方 形 . 平 面 ABC⊥ 平 面 AA1C1C，AB=3，BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC； （Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 BD 的值. BC1 18. (本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C： y  ln x 在点(1，0)处的切线. x (I)求 l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 19. (本小题共 14 分) 已知 A、B、C 是椭圆 W： x2  y 2  1 上的三个点，O 是坐标原点. 4 (I)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 20. (本小题共 13 分) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项 an 1 ， an  2 …的最小值记为 Bn，dn=An－Bn (I)若{an}为 2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*， an  4  an )，写出 d1，d2，d3，d4 的值； (II)设 d 为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列； (III)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1 要使可行域存在，必有 m<－2m+1，要求可行域内包含 直线 y  1 1 x  1 上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线 y  x  1 上方，且(-m，m)在直线 2 2 � � m  1  2m � 1 1 2 � 1  2m   m  1 得 m＜  y  x  1 下方，解不等式组 � 2 2 3 � 1 � m   m 1 � � 2