2014 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应 位置上． 1. 已知集合 A={  2, 1,3,4 }， B { 1,2,3} ，则 A  B  ▲ . 开始 n 0 2. 已知复数 z (5  2i) 2 (i 为虚数单位),则 z 的实部为 ▲ . n  n 1 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 4. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . n 2 Y20 输出 n 5. 已知函数 y cos x 与 y sin(2 x   ) (0≤    ),zxxk 它们的图象有一个横坐标为  的交点,则  的值是 ▲ . 3 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在 抽测的 60 株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 结束 （ 第 题） 3 频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 80 90 100 110 120 130 底部周长 /cm （ 第 题） 6 7. 在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, a 2 1, a8 a 6  2a 4 ,则 a 6 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为 S1 ， S 2 ，体积分别为 V1 ， V2 ，若它们的侧面积相等， 且 S1 9 V  ，则 1 的值是 ▲ . S2 4 V2 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x  2 y  3 0 被圆 ( x  2) 2  ( y  1) 2 4 截得的弦长为 ▲ . N 10. 已知函数 f ( x)  x 2  mx  1, 若对于任意 x  [m, m  1] ,都有 f ( x)  0 成立,则实数 m 的取 值范围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2  b (a，b 为常数) zxxk 过点 P(2, 5) ，且该曲 x 线在点 P 处的切线与直线 7 x  2 y  3 0 平行，则 a  b 的值是 ▲ . 12. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 已 知 AB 8 ， D P C AD 5 ， CP 3PD ， AP BP 2 ， 则 AB AD 的 值是 ▲ . 13. 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 3 的 函 数 , 当 x  [0,3) 时 , f ( x) | x 2  2 x  1 |. 2 若 函 A （第 12 题） B 数 y  f ( x)  a 在区间 [ 3,4] 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14. 若△ ABC 的内角满足 sin A  2 sin B 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，学科网解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分 14 分)  5 已知   ( ,  ) , sin   . 2 5  (1)求 sin(   ) 的值； 4 (2)求 cos( 5  2 ) 的值. 6 16.(本小题满分 14 分) 如 图 ， 在 三 棱 锥 P  ABC 中 ， D ， E ， F 分 zxxk 别 为 棱 PC , AC , AB 的 中 点 . 已 知 PA  AC , PA 6, BC 8, DF 5. 求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ； (2)平面 BDE  平面 ABC . 17.(本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆 x2 a2  y3 b2 1(a  b  0) 的左、右焦点， 顶点 B 的坐标为 (0, b) ，连结 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C，连结 F1C . 4 1 (1)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2  2 ,求椭圆的方程； 3 3 y (2)若 F1C  AB, 求椭圆离心率 e 的值. B C F1 O x F2 A ( 第 17 题) 18.(本小题满分 16 分) 如图,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划 要求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A 位于点 O 正 4 北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), tan BCO  . 3 (1)求新桥 BC 的长； (2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 北 B A 60 m M O 170 m C 东 （第 18 题） 19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) e x  e  x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明: f (x) 是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 mf (x ) ≤ e  x  m  1 在 (0,) 上恒成立，学科网求实数 m 的取值范 围； (3)已知正数 a 满足：存在 x 0  [1,) ，使得 f ( x 0 )  a ( x 03  3x 0 ) 成立. 试比较 e a  1 与 a e 1 的大小，并证明你的结论. 20.(本小题满分 16 分) 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n . 若 对 任 意 正 整 数 n ， 学 科 网 总 存 在 正 整 数 m ， 使 得 S n a m ，则称 {a n } 是“H 数列”. (1)若数列 {a n } 的前 n 项和 S n 2 n ( n  N  ),证明: {a n } 是“H 数列”; (2)设 {a n } 是等差数列,其首项 a1 1 ,公差 d  0 .若 {a n } 是“H 数列”,求 d 的值； (3)证明：对任意的等差数列 {a n } ，总存在两个“H 数列” {bn } 和 {c n } ，使得 a n bn  c n ( n  N  )成立. 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括 21、22、23、24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题 评分）【选修 4-1：几何证明选讲】 21．（10 分）（2014•江苏）如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两 点，证明：∠OCB=∠D． 　 【选修 4-2：矩阵与变换】 22．（10 分）（2014•江苏）已知矩阵 A= 实数，若 A =B ，B= ，向量 = ，x，y 为 ，求 x+y 的值． 　 【选修 4-3：极坐标及参数方程】 23．（2014•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为 参数），直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长． 　 【选修 4-4：不等式选讲】 24．（2014•江苏）已知 x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy． 　 (二）必做题（本部分包括 25、26 两题，每题 10 分，共计 20 分） 25．（10 分）（2014•江苏）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这 些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P； （2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1，x2，x3，随 机变量 X 表示 x1，x2，x3 中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X）． 　 26．（10 分）（2014•江苏）已知函数 f0（x）= （x＞0），设 fn（x）为 fn﹣1（x）的 导数，n∈N*． （1）求 2f1（ ）+ f2（ ）的值； （2）证明：对任意 n∈N*，等式|nfn﹣1（ ）+ fn（ ）|= 都成立． 2014 年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分） 1．（5 分）（2014•江苏）已知集合 A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则 A∩B=　 {﹣1，3}　． 考点：交集及其运算． 菁优网版权所有 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算即可得到结论． 解答：解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5 分）（2014•江苏）已知复数 z=（5+2i）2（i 为虚数单位），则 z 的实部为　21　． 考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算． 菁优网版权所有 专题：数系的扩充和复数． 分析：根据复数的有关概念，即可得到结论． 解答：解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i， 故 z 的实部为 21， 故答案为：21 点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础． 　 3．（5 分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是　5　． 考点：程序框图． 菁优网版权所有 专题：算法和程序框图． 分析：算法的功能是求满足 2n＞20 的最小的正整数 n 的值，代入正整数 n 验证可得答案． 解答：解：由程序框图知：算法的功能是求满足 2n＞20 的最小的正整数 n 的值， ∵24=16＜20，25=32＞20， ∴输出 n=5． 故答案为：5． 点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的 关键． 　 4．（5 分）（2014•江苏）从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数 的乘积为 6 的概率是　 　． 考点：古典概型及其概率计算公式． 菁优网版权所有 专题：概率与统计． 分析：首先列举并求出“从 1，2