教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 绝密★启用前 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设 z  3i ，则 z = 1  2i A．2 B． 3 C． 2 A   2,3, 4,5 2．已知集合 U   1, 2,3, 4,5, 6, 7 ，， A．  1, 6 B．  1, 7 3．已知 a  log 2 0.2, b  2 , c  0.2 0.2 A． a  b  c 0.3 D．1 B   2,3, 6, 7 ，则 B I � UA C．  6, 7 D．  1, 6, 7 C． c  a  b D． b  c  a ，则 B． a  c  b 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1 5 1 （ 2 2 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外， 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 2 ．若某人满足上述 两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能 是 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm sin x  x 5．函数 f(x)= cos x  x 2 在[—π，π]的图像大致为 A． B． C． D． 6．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A．8 号学生 B．200 号学生 C．616 号学生 D．815 号学生 B．－2+ 3 C．2－ 3 D．2+ 3 7．tan255°= A．－2－ 3 8．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a–b）  b，则 a 与 b 的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 1 9．如图是求 2  1 2 1 的程序框图，图中空白框中应填入 2 D． 5π 6 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 A．A= 1 2 A 10．双曲线 C： B．A= 2  1 A C．A= 1 1 2A D．A= 1  1 2A x2 y 2   1(a  0, b  0) 的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 C 的离心率为 a 2 b2 A．2sin40° B．2cos40° C． 1 sin50� D． 1 cos50� 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ 1 4 ，则 b c = A．6 B．5 C．4 D．3 12 ． 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F1 ( 1, 0), F2 (1, 0) ， 过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A ， B 两 点 . 若 | AF2 | 2 | F2 B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为 x2  y2  1 A． 2 x2 y 2  1 B． 3 2 x2 y 2  1 C． 4 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y  3( x  x)e 在点 (0, 0) 处的切线方程为___________． 2 x x2 y 2  1 D． 5 4 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1  1，S3  15．函数 f ( x)  sin(2 x  3 ，则 S4=___________． 4 3π )  3cos x 的最小值为___________． 2 16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离均 为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为___________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17．（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场 的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： K  2 n(ad  bc) 2 ． (a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) P（K2≥k 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ） k 18．（12 分） 记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，已知 S9=－a5． （1）若 a3=4，求{an}的通项公式； （2）若 a1>0，求使得 Sn≥an 的 n 的取值范围． 19．（12 分） 如 图 ， 直 四 棱 柱 ABCD–A1B1C1D1 的 底 面 AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点. 是 菱 形 ， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离． 20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围． 21.（12 分） 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，│AB│ =4，⊙M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切． （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） � 1 t2 x ， � � 1 t2 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 � （t 为参数），以坐标原点 O �y  4t � 1 t2 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2  cos   3 sin   11  0 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明： （1） 1 1 1   �a 2  b 2  c 2 ； a b c （2） (a  b)  (b  c)  ( c  a) �24 ． 3 3 3 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 参考答案 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 15．−4 16． 2 二、填空题 13．y=3x 14． 5 8 三、解答题 17．解： （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40  0.8 ，因此男顾客对该 50 商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为 30  0.6 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率 50 的估计值为0.6． （2） K 2  100 �(40 �20  30 �10) 2 �4.762 ． 50 �50 �70 �30 由于 4.762  3.841 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解： （1）设  an  的公差为d． 由 S9  a5 得 a1  4d  0 ． 由a3=4得 a1  2d  4 ． 于是 a1  8, d  2 ． 因此  an  的通项公式为 an  10  2n ． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （2）由（1）得 a1  4d ，故 an  (n  5)d , S n  n(n  9)d . 2 由 a1  0 知 d  0 ，故 S n�an 等价于 n 2  11n  10�0 ，解得1≤n≤10． 所以n的取值范围是 {n |1�n�10, n �N} ． 19．解： （ 1 ） 连 结 B1C , ME . 因 为 M ， E 分 别 为 BB1 , BC 的 中 点 ， 所 以 ME ∥ B1C ， 且 ME  1 1 B1C .又因为N为 A1 D 的中点，所以 ND  A1D . 2 2 由题设知 A1 B1∥= DC ，可得 B1C∥= A1D ，故 ME∥= ND ，因此四边形MNDE为平行 四边形， MN∥ ED .又 MN �平面 C1 DE ，所以MN∥平面 C1 DE . （2）过C作C1E的垂线，垂足为H. 由已知可得 DE  BC ， DE