教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设集合 M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则 M∩N 中元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（5 分）已知角 α 的终边经过点（﹣4，3），则 cosα=（　　） A． B． C．﹣ 3．（5 分）不等式组 D．﹣ 的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1} 4．（5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（　　） A． B． 5．（5 分）函数 y=ln（ C． D． +1）（x＞﹣1）的反函数是（　　） A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R） 6．（5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60°，则（2 ﹣ ）• =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组 成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 B．70 种 C．75 种 D．150 种 8．（5 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ．若 S2=3，S4=15，则 S6=（ ） A．31 B．32 C．63 D．64 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 9．（5 分）已知椭圆 C： 心率为 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点为 F1、F2，离 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为（　　） A． + =1 B． +y2=1 C． + =1 D． + =1 10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长 为 2，则该球的表面积为（　　） A． B．16π 11．（5 分）双曲线 C： 近线的距离为 A．2 ﹣ C．9π D． =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，焦点到渐 ，则 C 的焦距等于（　　） B．2 C．4 D．4 12 ． （ 5 分 ） 奇 函 数 f （ x ） 的 定 义 域 为 R ， 若 f （ x+2 ） 为 偶 函 数 ， 且 f（1）=1，则 f（8）+f（9）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 　 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13．（5 分）（x﹣2）6 的展开式中 x3 的系数是　 　．（用数字作答） 14．（5 分）函数 y=cos2x+2sinx 的最大值是　 　． 15．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+4y 的最大值为　 　． 16 ． （ 5 分 ） 直 线 l1 和 l2 是 圆 x2+y2=2 的 两 条 切 线 ， 若 l1 与 l2 的 交 点 为 （1，3），则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于　 　． 　 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 三、解答题 17．（10 分）数列{an}满足 a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2． （Ⅰ）设 bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式． 18 ． （ 12 分 ） △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 已 知 3acosC=2ccosA，tanA= ，求 B． 19．（12 分）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2． （Ⅰ）证明：AC1⊥A1B； （Ⅱ）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ，求二面角 A1﹣AB﹣C 的大小． 20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别 为 0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 （Ⅱ）实验室计划购买 k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需 使用设备的人数大于 k”的概率小于 0.1，求 k 的最小值． 21．（12 分）函数 f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）若 f（x）在区间（1，2）是增函数，求 a 的取值范围． 22．（12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|= |PQ|． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程． 　 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分） 1．（5 分）设集合 M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则 M∩N 中元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算． 菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据 M 与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可． 【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}， ∴M∩N={1，2，6}，即 M∩N 中元素的个数为 3． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5 分）已知角 α 的终边经过点（﹣4，3），则 cosα=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】G9：任意角的三角函数的定义． 菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值． 【解答】解：∵角 α 的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4 ，y=3，r= =5． ∴cosα= = 故选：D． =﹣ ， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用， 属于基础题． 　 3．（5 分）不等式组 的解集为（　　） A．{x|﹣2＜x＜﹣1} 1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜ D．{x|x＞1} 【考点】7E：其他不等式的解法． 菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式 的解集，再取交集，即得所求． 【解答】解：由不等式组 可得 ，解得 0＜x＜1， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题． 　 4．（5 分）已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】由 E 为 AB 的中点，可取 AD 中点 F，连接 EF，则∠CEF 为异面直线 CE 与 BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF 的三边长，然后利用 余弦定理求解异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值． 【解答】解：如图， 取 AD 中点 F，连接 EF，CF， 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 ∵E 为 AB 的中点， ∴EF∥DB， 则∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角， ∵ABCD 为正四面体，E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴CE=CF． 设正四面体的棱长为 2a， 则 EF=a， ． CE=CF= 在△CEF 中，由余弦定理得： ． = 故选：B． 【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应 用，是中档题． 　 5．（5 分）函数 y=ln（ +1）（x＞﹣1）的反函数是（　　） A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1） B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1） C．y=（1﹣ex）3（x∈R） D．y=（ex﹣1）3（x∈R） 【考点】4R：反函数． 菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由已知式子解出 x，然后互换 x、y 的位置即可得到反函数． 教育资源分享店铺 网址：https://shop175591889.taobao.com 微信号：kingcsa333 【解答】解：∵y=ln（ ∴ +1=ey，即 +1）， =ey﹣1， ∴x=（ey﹣1）3， ∴所求反函数为 y=（ex﹣1）3， 故选：D． 【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题． 　 6．（5 分）已知 ， 为单位向量，其夹角为 60°，则（2 ﹣ ）• =（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算． 菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 、 的值，可得（2 ﹣ ）• 的值． 【解答】解：由题意可得， ∴（2 ﹣ ）• =2 ﹣ =1×1×cos60°= ， =1， =0， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 　 7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组 成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60 种 B．70 种