2016 年天津市高考数学试卷（文科） 　 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（ ） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 2．（5 分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ， 则甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（5 分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） A． B． C． 4．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 D． ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． ﹣y2=1 C． ﹣ B．x2﹣ =1 D． =1 ﹣ =1 5．（5 分）（2016•天津）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ，且双曲 6．（5 分）（2016•天津）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单 调递增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞） 7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 • 的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 8．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x∈R，若 f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则 ω 的取值范围是（　　） A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ] 　 二、填空题本大题 6 小题，每题 5 分，共 30 分 9．（5 分）（2016•天津）i 是虚数单位，复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的实部为______． 10．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f ′（0）的值为______． 11．（5 分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为_ _____． 12．（5 分）（2016•天津）已知圆 C 的圆心在 x 轴正半轴上，点（0， 心到直线 2x﹣y=0 的距离为 ）圆 C 上，且圆 ，则圆 C 的方程为______． 13．（5 分）（2016•天津）如图，AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段 CE 的长为______． 14．（5 分）（2016•天津）已知函数 f（x）= （a＞0，且 a≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则 a 的 取值范围是______． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，80 分 15．（13 分）（2016•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 asin2B= bsinA． （1）求 B； （2）已知 cosA= ，求 sinC 的值． 16．（13 分）（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要 原料，生产 1 扯皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示： A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥 料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车品乙种肥料，产生的利润 为 3 万元、分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． （1）用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润． 17．（13 分）（2016•天津）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G 为 BC 的中点． （1）求证：FG∥平面 BED； （2）求证：平面 BED⊥平面 AED； （3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值． 18．（13 分）（2016•天津）已知{an}是等比数列，前 n 项和为 Sn（n∈N*），且 = ﹣ ，S6=63． （1）求{an}的通项公式； （2）若对任意的 n∈N*，bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项，求数列{（﹣1）nb }的前 2n 项和． 19．（14 分）（2016•天津）设椭圆 知 + = + =1（a＞ ）的右焦点为 F，右顶点为 A，已 ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线 l 的斜率． 20．（14 分）（2016•天津）设函数 f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中 a，b∈R． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）=f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=0； （3）设 a＞0，函数 g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ． 　 2016 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．（5 分）（2016•天津）已知集合 A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则 A∩B=（ ） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【分析】根据题意，将集合 B 用列举法表示出来，可得 B={1，3，5}，由交集的定义计算 可得答案． 【解答】解：根据题意，集合 A={1，2，3}，而 B={y|y=2x﹣1，x∈A}， 则 B={1，3，5}， 则 A∩B={1，3}， 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，注意集合 B 的表示方法． 　 2．（5 分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ， 则甲不输的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出． 【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件． ∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率 P= + = ． 故选：A． 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择 合适的概率公式，属于基础题． 　 3．（5 分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何 体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案． 【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为 D﹣AD1C， 棱 CD1 在左侧面的投影为 BA1， 故选 B． 【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题． 　 4．（5 分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲 线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直，则双曲线的方程为（　　） A． ﹣y2=1 C． ﹣ B．x2﹣ =1 【分析】利用双曲线 D． ﹣ =1 ﹣ =1 =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ，且双曲线的一条渐近线与 直线 2x+y=0 垂直，求出几何量 a，b，c，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为 2 ∴c= ， ∵双曲线的一条渐近线与直线 2x+y=0 垂直， ∴ = ， ∴a=2b， ∵c2=a2+b2， ， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为 =1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是 关键． 　 5．（5 分）（2016•天津）设 x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可． 【解答】解：设 x＞0，y∈R，当 x=0，y=﹣1 时，满足 x＞y 但不满足 x＞|y|，故由 x＞ 0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”， 而“x＞|y|”⇒“x＞y”， 故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题． 　 6．（5 分）（2016•天津）已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单 调递增，若实数 a 满足 f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则 a 的取值范围是（　　） A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞） 【分析】根据函数的对称性可知 f（x）在（0，+∞）递减，故只需令 2|a﹣1|＜ 即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ）， ∴2|a﹣1|＜ ∴|a﹣1| =2 ． ， 解得 ． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题． 　 7．（5 分）（2016•天津）已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE=2EF，则 • 的值为（　　） A．﹣ B． C． D． 【分析】由题意画出图形，把 【解答】解：如图， 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案． ∵D、E 分别是边 AB、BC 的中点，且 DE=2EF， ∴ • = = = = = = = ． = 故选：B