2022 年全国普通高等学校招生全国统一考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合 A   1,1, 2, 4 ，B =  x | x  1 �1 , ，则 A I B = . A.  1, 2 2.  2  2i   1  2i   A. B. 2  4i B.  1, 2 C. 2  4i  1, 4 C.  1, 4 D. 6  2i D. 3.图 1 是中国古代建筑中的举架结构， 6  2i AA� , BB� , CC � , DD� 是 桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举。图 2 是某 古代建筑屋顶截面的示意图，其中 OD1 , DC1 , CB1 , BA1 DD1 , CC1 , BB1 , AA1 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 DD1 CC BB AA  0.5, 1  k1 , 1  k2 , 1  k3 ，已知 k1 , k2 , k3 成公差为 0.1 的等差数列，且直 OD1 DC1 CB1 BA1 线 OA 的斜率为 0.725，则 A. 0.75 k3 = B. 0.8 C. 0.85 r r D. 0.9 r r r r r r r 4.已知向量 a   4,3 , b   1, 0  , c  a  tb ，且 a, c  b, c 则实数 t = 第1页共7页 6 A. B. 5 C. 5 D. 6 5.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的 不同排列方式有 A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 6.角  ,  满足 � � sin       cos       2 2 cos �  � sin  ，则 � 4� A.tan       1 B.tan       1 C.tan       1 D.tan       1 7.已知正三棱台的高为 1，上下底面的边长分别为 3 3和4 3 ，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为 A．100π B．128π 8.若 f  x C．144π D．192π 的定义域为 R，对 x, y �R ，有 f  x  y   f  x  y   f  x  f  y  , f  1  1 22 �f  k   则 k 1 A．－3 B．－2 C．0 D．1 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 �2 9. 函数 f  x   sin  2 x     0      的图像以 � �3 � ,0� �中心对称，则（ ） � 5 � 0, � A. y  f  x  在 � � 12 �单调递减 �  11 �  , � B. y  f  x  在 � 有两个极值点 � 12 12 � C. 直线 x 7 6 是一条对称轴 3 D. 直线 y  2  x 是一条切线 10. 已知 O 是坐标原点，过抛物线 C： y 2  2 px  p  0  第2页共7页 焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点 其中 A 在第一象限， M  p, 0  ，若 A. 直线 AB 的斜率为 2 6 B. AB  4 OF B. AF  AM OB  OF D. �OAM  �OBM  180 11. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， FB PED, AB  ED  2 FB , 记 E  ACD, F  ABC , F  ACE A. V3  2V2 C. V3  V1  V2 B. 12. 对实数 B. D. x, y 0 ED  平面ABCD , 三 的体积分别为 棱 V1 ,V2 , V3 锥 ，则 V3  2V1 2V3  3V1 ，满足 x  y 1 A. ,则（ ） x 2  y 2  xy  1 B. x 2  y 2 �1 D. ，则 x  y  2 x 2  y 2 �2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分  13. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 2， 则 P  x  2.5  14. 曲线 y  ln x 15. 已知点  x  3 2 2  ，且 P  2  x �2.5  0.36 ， = 的过原点的两天切线为 A  2, 3 , B  0, a  ， ，求直线 AB 关于 y  a 的对称直线与圆   y  2   1 有交点，则 a 的取值范围 2 第3页共7页 x2 y 2  1 16. 已知椭圆 6 ，直线 l 椭圆在第一象限交于 A, B ,与 x 轴、 y 轴分别交于 3 M、N，且 MA  NB , MN  2 3 ,求直线 l 的方程为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（10 分） {an } {bn } a2  b2  a3  b3  b4  a4 已知 为等差数列， 是公比为 2 的等比数列，且 1）证明： 2）求集合 a1  b1 {k | bk  am  a1 ,1 �m �500} 中元素的个数。 18.（12 分） B C ，其对边分别为 a, b, c ，分别以 a, b, c 为边长的三个正 记 ABC 的三个内角分别为 A、、 三角形的面积依次为 S1 , S2 , S3 ，已知 S1  S2  S3  3 1 ,sin B  2 3。 1）求 ABC 的面积； 2）若 sin A sin C  2 , 3 求b 19.（12 分） 在某地区进行流行病调查，随机调查了 100 名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据 频率分布直方图 1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用改组区间的中点值代表） [20, 70) 2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间 的概率。 3）已知该地区这种疾病的患病率为 0.1% ，该地区的年龄位于区间 第4页共7页 [40,50) 的人口占该地区 总人口的 16% ，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 [40,50) ，求此人患该种疾病的概 率。（样本数据中的患者年龄位于各地区的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001 ) 20.（12 分） 如图， PO 是三棱锥 P  ABC 的高， PA  PB, AB  AC , E 是 PB 的中点， 1）求证： OE / / 平面 PAC 2）若 �ABO  �CBO  300 , PO  3, PA  5, ，求二面角 C  AE  B 的正弦值 21、（12 分） 已知双曲线 C: x2 y 2   1(a  0, b  0) 的右焦点为 F (2, 0) 的渐近线方程为： y  � 3 x a 2 b2 （1）求 C 的方程； （2）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 上，且 x1  x2  0, y1  0 ，过 P 且斜率为 第5页共7页 A, B 两点，点 P( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 在C  3 的直线与过 Q 且斜率为 3 的直线 交于点 M ,从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立 ① M 在 AB 上；② PQ //AB ;③ | MA || MB | 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 22、（12 分） 已知函数 f ( x)  xe ax  e x （1）当 （2）当 a 1 x0 时讨论 时， f ( x) 的单调性； f ( x )  1 a ，求 得取值范围； 1 （3）设 n �N * ,证明： 12  1  1 22  2 第6页共7页 L  1 n2  n  ln(n  1) 本试题由公众号《高中僧试卷》团队综合整理，有些素材搜集于网络，若有疑问，欢迎联 系！ 第7页共7页