2022 年普通高等学校招生全国统一考试 （新高考全国Ⅱ卷）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. {1, 4} {1, 2} B. ，则 A I B  （） {1, 2} C. {1, 4} D. {1,4} 【答案】B 【解析】 B 【分析】求出集合 后可求 【详解】 AI B . B   x | 0 �x �2 ，故 A I B   1, 2 ， 故选：B. 2. A. (2  2i)(1  2i)  2  4i （） B. 2  4i C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法可求  2  2i   1  2i  . 1 6  2i D. 6  2i 【详解】  2  2i   1  2i   2  4  4i  2i  6  2i ， 故选：D. 3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖 面图， DD1 , CC1 , BB1 , AA1 是举， OD1 , DC1 , CB1 , BA1 是相等的步，相邻桁的举步之比分别 DD1 CC BB AA  0.5, 1  k1 , 1  k2 , 1  k3 为 OD1 ，若 k1 , k 2 , k3 是公差为 0.1 的等差数列，且直 DC1 CB1 BA1 线 OA 的斜率为 0.725，则 k3  （） 2 A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】设 OD1  DC1  CB1  BA1  1 ，则可得关于 k3 的方程，求出其解后可得正确的 选项. 【详解】设 OD1  DC1  CB1  BA1  1 ，则 CC1  k1 , BB1  k2 , AA1  k3 ， DD1  CC1  BB1  AA1  0.725 依题意，有 k3  0.2  k1 , k3  0.1  k2 ，且 OD1  DC1  CB1  BA1 ， 0.5  3k3  0.3  0.725 所以 ，故 k3  0.9 ， 4 故选：D r r r r r r r r r a  (3, 4), b  (1, 0), c  a  t b  a , c  b , c  ，则 t  （） ，若 4. 已知 A. 6 B. 5 C. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 3 D. 6 r 【详解】解： c   3  t , 4  , cos ar, cr  cos b, cr ,即 9  3t  16 3  t  r r 5c c ,解得 t  5 , 故选：C 5. 有甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排 列方式有多少种（） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排 列,有 3! 种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一 个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排 这 5 名同学共有： 3!�2 �2  24 种不同的排列方式， 故选：B � � sin(   )  cos(   )  2 2 cos �  � sin  ，则（） 6. 角  ,  满足 � 4� A. C. tan(   )  1 B. tan(   )  1 D. tan(   )  1 tan(   )  1 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和差 的 正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】由已知得： sin  cos   cos  sin   cos  cos   sin  sin   2  cos   sin   sin  即： sin  cos   cos  sin   cos  cos   sin  sin   0 4 ， , 即： sin       cos       0 所以 tan       1 , , 故选：D 7. 正三棱台高为 1，上下底边长分别为 3 3 和 4 3 ，所有顶点在同一球面上，则球的表面 积是（） A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面 r ,r 的 半径 1 2 ，再根据球心距，圆面半 径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 3 3 4 3 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1 , r2 ，所以 2r1  sin 60o , 2r2  sin 60o ，即 r1  3, r2  4 ，设球心到上下底面的距离分别为 d1 , d 2 ，球的半径为 R ，所以 d1  R 2  9 ， d 2  R 2  16 ，故 d1  d 2  1 或 d1  d 2  1 ，即 R 2  9  R 2  16  1 或 R 2  9  R 2  16  1 ，解得 R 2  25 符合题意，所以球的表面积为 S  4π100π R2  故选：A． 8. 若函数 f ( x) 的定义域为 R，且 f ( x  y )  f ( x  y )  f ( x ) f ( y ), f (1)  1 ，则 22 �f (k )  （） k 1 A. 3 B. 2 C. 0 【答案】A 5 D. 1 ． 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数 f  x 的一个周期为 6 ，求出函数一个周期中的 f  1 , f  2  ,L , f  6  的值，即可解出． 【详解】因为 f  x  y   f  x  y   f  x  f  y  ，令 x  1, y  0 可得， 2 f  1  f  1 f  0  ，所以 f  0   2 ，令 x  0 可得， f  y   f   y   2 f  y  ，即 f  y   f   y  ，所以函数 f  x  为偶函数，令 y  1 得， f  x  1  f  x  1  f  x  f  1  f  x  ，即有 f  x  2   f  x   f  x  1 ，从而可知 f  x  2    f  x  1 ， f  x  1   f  x  4  ，故 f  x  2   f  x  4  ，即 f  x   f  x  6  ，所以函数 f  x  的一个周期为 6 ． f  2   f  1  f  0   1  2  1 ， f  3  f  2   f  1  1  1  2 ， 因为 f  4   f  2   f  2   1 ， f  5   f  1  f  1  1 ， f  6   f  0   2 ，所以 一个周期内的 f  1  f  2   L  f  6   0 ．由于 22 除以 6 余 4， 22 �f  k   f  1  f  2   f  3  f  4   1  1  2  1  3 ． 所以 k 1 故选：A． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 6 9. 函数 f ( x)  sin(2 x   )(0π)   �2π � , 0� 的图象以 � �3 �中心对称，则（） � 5π � 0, � A. y  f ( x) 在 � � 12 �单调递减 � π11π �  , � B. y  f ( x) 在 � � 12 12 �有 2 个极值点 C. 直线 x 7π 6 是一条对称轴 3 D. 直线 y  2  x 是一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． �2π4π � � � 4π f � � sin �   � 0    kπ ， 【详解】由题意得： �3 � ，所以 �3 � k �Z ， 3 即   4π  kπ, k �Z ， 3 又 0π   ，所以 k  2 对 A，当  时， 2π � � 2π f ( x )  sin � 2x  � 3 �． � 3 ，故 2π2π3π � � 5π � x �� 0, � 2 x  �� , 时， 3 �3 2 � 12 � � �，由正弦函数 y  sin u 图象知 y  f ( x) 在 � � 5π � 0, � � � 12 �上是单调递减； � π11π x ��  , 对 B，当 � 12 12 2ππ5π� � � �� , � �时， 2 x  3 �2 2 �，由正弦函数 y  sin u 图象知 y  f ( x ) � 7 只有