2009 年北京市普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 9 页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 （选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用 2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母 为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。 一、本大题每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．在复平面内，复数 z  i (1  2i ) 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量 a, b 不共线， c  ka  b(k �R ), d  a  b 如果 c // d ，那么 A． k  1 且 c 与 d 同向 C． k  1 且 c 与 d 同向 3．为了得到函数 y  lg B． k  1 且 c 与 d 反向 D． k  1 且 c 与 d 反向 x3 的图像，只需把函数 y  lg x 的图像上所有的点 10 A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 4．若正四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 的底面边长为 1， AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为 A． 5．“   3 3 B．1 C． 2 D． 3  1  2k (k �Z ) ”是“ cos 2  ”的 6 2 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．若 (1  2)5  a  b 2(a, b 为有理数），则 a  b  A．45 B．55 C．70 D．80 7．用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 1 A．324 B．328 C．360 D．648 8 ． 点 P 在 直 线 l : y  x  1 上 ， 若 存 在 过 P 的 直 线 交 抛 物 线 y  x 2 于 A, B 两 点 ， 且 | PA | AB | ，则称点 P 为“ A．直线 l 上的所有点都是“ 点”，那么下列结论中正确的是 点” B．直线 l 上仅有有限个点是“ 点” C．直线 l 上的所有点都不是“ 点” D．直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。 9． lim x �1 x xx  ___________。 x 1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m �x  y  2 �0 � x �4 则 s  y  x 的最小值为__________。 10．若实数 x, y 满足 � �y �5 � 11．设 f ( x ) 是偶函数，若曲线 y  f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 1，则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为______________。 12．椭圆 x2 y 2   1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 | 4 ，则 | PF2 | ________ 9 2 _； �F1 PF2 的小大为____________。 �1 , x0 � 1 �x 则不等式 | f ( x) |� 的解集为____________。 13．若函数 f ( x)  � 1 3 � ( ) x , x �0 �3  14．已知数列 {an } 满足： a4 n 3  1, a4 n 1  0, a2 n  an , n �N , 则 a2009  ________； a2014 = ____________。 三 、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分） w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B  2  4 ， cos A  , b  3 。 3 5 （I）求 sin C 的值； （Ⅱ）求 ABC 的面积。 w.w. w.k.s.5.u.c.o.m 16．（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P  ABC 中， PA  底面 ABC , PA  AB, �ABC  60�, �BCA  90�， 点 D ， E 分别在棱 PB, PC 上，且 DE // BC （I）求证： BC  平面 PAC ； （Ⅱ）当 D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小； （Ⅲ）是否存在点 E 使得二面角 A  DE  P 为直二面角？并说 明理由。 17．（本小题共 13 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到 红灯的概率都是 1 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min。 3 （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； w.w. w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间  的分布列及期望。 18．（本小题共 13 分） 3 设函数 f ( x )  xe kx (k �0) （I）求曲线 y  f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间； （Ⅲ）若函数 f ( x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19．（本小题共 14 分） 已知双曲线 C : x2 y2 3  2  1( a  0, b  0) 的离心率为 3 ，右准线方程为 x  2 a b 3 （I）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）设直线 l 是圆 O : x 2  y 2  2 上动点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 �0) 处的切线， l 与双曲线 C 交 于不同的两点 A, B ，证明 �AOB 的大小为定值。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20．（本小题共 13 分） 已 知 数 集 A  {a1 , a2 ,L an }(1 �a1  a2  L an , n �2) 具 有 性 质 P ； 对 任 意 的 i, j (1 �i �j �n) ， ai a j 与 aj ai 两数中至少有一个属于 A 。 （I）分别判断数集 {1,3, 4} 与 {1, 2,3, 6} 是否具有性质 P ，并说明理由； （Ⅱ）证明： a1  1 ，且 a1  a2  L  an  an ; a11  a21  L  an1 4 （Ⅲ）证明：当 n  5 时， a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．A 9． 1 10． 6 11． 1 12． 2, 120� 13．  3,1 14．1，0 2 三 、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（Ⅰ）∵A、B、C 为△ABC 的内角，且 B  ∴C  2 3  A,sin A  ， 3 5  4 , cos A  ， 3 5 1 3 4 3 �2 � 3 .  A � cos A  sin A  2 10 �3 � 2 ∴ sin C  sin � （Ⅱ）由（Ⅰ）知 sin A  又∵ B  3 3 4 3 ， ,sin C  5 10  ,b  3 ， 3 ∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴a  b sin A 6  . sin B 5 ∴△ABC 的面积 S  1 1 6 3  4 3 36  9 3 . ab sin C  � � 3 �  2 2 5 10 50 16．（Ⅰ）∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC. 又 �BCA  90�，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC， ∴ DE  1 BC ， 2 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC， 5 ∴DE⊥平面 PAC，垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AB，又 PA=AB， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD  1 AB ， 2 ∴在 Rt△ABC 中， �ABC  60�，∴ BC  ∴在 Rt△ADE 中， sin �DAE  1 AB . 2 DE BC 2，   AD 2 AD 4 ∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小为 arcsin 2 . 4 （Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面 PAC，∴DE⊥平面 PAC， 又∵AE �平面 PAC，PE �平面 PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP 为二面角 A  DE  P 的平面角， ∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥AC，∴ �PAC  90�. ∴在棱 PC 上存在一点 E，使得 AE⊥PC，这时 �AEP  90�， 故存在点 E 使得二面角 A  DE  P 是直二面角. 17（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A 等价 于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯 ”，所以事件 � 1 �� 1 � 1 4 �� 1 � �  . � � 3 � � 3 � 3 27 1 A 的概率为 P  A   � （Ⅱ）由题意可得，  可能取的值为 0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“   2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”（ k  0，1，2，3，4）， k 4 k �1 ��2 � ∴ P    2k 