7.1 探索直线平行的条件（2） 学习目标: 1、 理解内错角、同旁内角的概念. 2、 探索并掌握直线平行的条件. 【导学指导】： 一、自主学习 活动一：探究交流课本中的“议一议” 1、如图 1，直线 a、b 被直线 c 所截，∠2=∠3，直线 a 与直线 b 平行吗？试说明理由. 2、如图 2，直线 a、b 被直线 c 所截，∠2+∠3=180°，直线 a 与直线 b 平行吗？试说明 理由. 图1 图2 活动二：通过观察、比较、认识“内错角”、“同旁内角”，探索直线平行的条件. 由活动一、活动二，得出直线平行的条件： 二、例题评析： 例 1、如图：∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°，图中哪些线互相平行，为什么？ 例 2、如图，AB 与 CD 相交于点 O， ∠C =∠COA ， ∠ D=∠ DOB ，AC 与 BD 平 行吗？ 三、巩固知识 [典型问题] 1．当图中各角满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？并简单说明理 由 （1）∠1＝∠4； （2）∠2＝∠4； （3）∠1＋∠3＝180． 2．如图，已知 AB⊥BC，CD⊥BC， ∠1=∠ 2 ，BE 与 CF 平行吗？ 　　 [四基训练] 3．如图直线 AB，CD 被 EF 所截，图中标注的角中为同旁内角的是（　　） A．∠1 与∠7 B．∠2 与∠8 C．∠3 与∠5 D．∠4 与∠7 4．如图，给出下列说法：①∠B 和∠1 是同位角；②∠1 和∠3 是对顶角；③∠2 和∠4 是内 错角；④∠A 和∠BCD 是同旁内角．其中说法正确的有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 5．如图，下列推理中正确的是（　　） A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD C．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD 6．如图，点 E 在 CD 的延长线上，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是（　　） A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2 7．如图，若∠1＝∠2，则在下列结论中：①∠3＝∠4；② AB∥CD；③ AD∥BC，正确的结论 序号是　　．（注：填上你认为正确的所有结论的序号） 8．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条 b 与 a 平行，则∠1 的度数等于 ． 9．如图，△ABC 中，∠B＝∠ACB，D 在 BC 的延长线，CD 平分∠ECF， AB 与 CE 平行吗？ 请说明理由。 [拓展提升] 10．如图，Rt△AOB 和 Rt△COD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点 D 在 边 OA 上，将图中的△COD 绕点 O 按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过 程中，在第　　秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行． 答案： 【导学指导】： 一、自主学习 活动一：探究交流课本中的“议一议” 1、如图 1，直线 a、b 被直线 c 所截，∠2=∠3，直线 a 与直线 b 平行吗？试说明理由. 2、如图 2，直线 a、b 被直线 c 所截，∠2+∠3=180°，直线 a 与直线 b 平行吗？试说明 理由. 图1 图2 都能转化成同位角相等，利用同位角相等，得到两直线平行． 活动二：通过观察、比较、认识“内错角”、“同旁内角”，探索直线平行的条件. 内错角：∠5 与∠6；∠4 与∠2 同旁内角：∠5 与 由活动一、活动二，得出直线平行的条件： 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行 二、例题评析： 例 1、如图：∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°，图中哪些线互相平行，为什么？ 答案：AB∥EF，DE∥ BC 因为∠1 与∠2 是 AB、EF 被 DE 所截构成的内错角，且∠1＝∠2，所以 AB∥EF．理由是：内错角相等，两直线平行． 因为∠B 与∠BDE 是 BC、DE 被 AB 所截构成的同旁内角，且∠B＋∠BDE＝ 180°，所以 DE∥BC．理由是：同旁内角互补，两直线平行． 例 2、如图，AB 与 CD 相交于点 O， 行吗？ ∠C =∠COA ， ∠ D=∠ DOB ，AC 与 BD 平 答案：AC 与 BD 平行 因为 ∠C =∠COA ， ∠ D=∠ DOB ，又因为∠DOB 与∠COA 是对顶角相等， 所以∠C=∠D, 所以 AC 与 BD 平行．理由是：内错角相等，两直线平行． 三、巩固知识 [典型问题] 1．当图中各角满足下列条件时，你能指出哪两条直线平行吗？并简单说明理 由 （1）∠1＝∠4； （2）∠2＝∠4； （3）∠1＋∠3＝180． 答案：（1）因为∠1＝∠4，所以 a∥b，理由是同位角相等，两直线平行． （2）因为∠2＝∠4，所以 l ∥m，理由是内错角相等，两直线平行． （3）因为∠1＋∠3＝180，所以 l ∥n，理由是同旁内角互补，两直线平 行． 2．如图，已知 AB⊥BC，CD⊥BC， ∠1=∠ 2 ，BE 与 CF 平行吗？ 答案：．因为 AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ，所以∠ABC＝∠BCD＝90；因 为∠1＝∠2，所以∠EBC＝∠BCF，所以 BE∥CF，理由是内错角相等，两直线平 行． [四基训练] 3．如图直线 AB，CD 被 EF 所截，图中标注的角中为同旁内角的是（　　） A．∠1 与∠7 B．∠2 与∠8 C．∠3 与∠5 D．∠4 与∠7 解：A．∠1 与∠7 不是直线 AB，CD 被 EF 所截而成的同旁内角，故本选项错误； B．∠2 与∠8 不是直线 AB，CD 被 EF 所截而成的同旁内角，故本选项错误； C．∠3 与∠5 是直线 AB，CD 被 EF 所截而成的同旁内角，故本选项正确； D．∠4 与∠7 不是直线 AB，CD 被 EF 所截而成的同旁内角，故本选项错误； 故选：C． 4．如图，给出下列说法：①∠B 和∠1 是同位角；②∠1 和∠3 是对顶角；③∠2 和∠4 是内 错角；④∠A 和∠BCD 是同旁内角．其中说法正确的有（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 解：如图所示，①∠B 和∠1 是同旁内角，故说法错误； ②∠1 和∠3 不是对顶角，故说法错误； ③∠2 和∠4 是内错角，故说法正确； ④∠A 和∠BCD 不是同旁内角，故说法错误． 综上所述，说法正确的结论有 1 个． 故选：B． 5．如图，下列推理中正确的是（　　） A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD C．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD 解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误； B、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误； D、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确； C、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误． 故选：C． 6．如图，点 E 在 CD 的延长线上，下列条件中不能判定 AB∥CD 的是（　　） A．∠B+∠BDC＝180° B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠B D．∠1＝∠2 解：A、∵∠B+∠BDC＝180°，∴AB∥CD，本选项不合题意； B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，本选项不合题意； C、∵∠5＝∠B，∴AB∥CD，本选项不合题意； D、∵∠1＝∠2，∴AC∥BD，本选项符合题意． 故选：D． 7．如图，若∠1＝∠2，则在下列结论中：①∠3＝∠4；② AB∥CD；③ AD∥BC，正确的结论 序号是　②　．（注：填上你认为正确的所有结论的序号） 8．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条 b 与 a 平行，则∠1 的度数等于 80°　． 9．如图，△ABC 中，∠B＝∠ACB，D 在 BC 的延长线，CD 平分∠ECF， AB 与 CE 平行吗？ 请说明理由。 AB∥CE． 理由：∵CD 平分∠ECF， ∴∠DCF＝∠DCE． 又∵∠DCF＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠DCE． 又∵∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠DCE． ∴AB∥CE． [拓展提升] 11．如图，Rt△AOB 和 Rt△COD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点 D 在 边 OA 上，将图中的△COD 绕点 O 按每秒 10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的 过程中，在第　10 或 28　秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行． 解：①两三角形在点 O 的同侧时，如图 1，设 CD 与 OB 相交于点 E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°， ∵每秒旋转 10°， ∴时间为 100°÷10°＝10 秒； ② 两三角形在点 O 的异侧时，如图 2，延长 BO 与 CD 相交于点 E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角为 270°+10°＝280°， ∵每秒旋转 10°， ∴时间为 280°÷10°＝28 秒； 综上所述，在第 10 或 28 秒时，边 CD 恰好与边 AB 平行． 故答案为：10 或 28．