专题 21.31 《一元二次方程》全章复习与巩固（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 2  a  a �0  1．已知方程 x  bx  a  0 ，有一个根是 ，则下列代数式的值恒为常数的是 （ ）． A．ab B． a b C． a  b D． a  b 2 2．已知方程 x  6 x  4 W，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成  x  p 2 7 的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A．6 B．9 C．2 2 2 3．若 a，b 满足 4a  4ab  b  a  1  0 ，则 a  2b  （ A．3 B．4 C．5 D． 2 ） D．6 2 2 4．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 x  ax  b 的方法．类似地可 2 以用折纸的方法求方程 x  x  1  0 的一个正根．如图，裁一张边长为 1 的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线段 AE 上，标注 点 B 的新位置 F，则 EF  EB ． 类似地，再在 AB 上折出点 M 使 AM  AF ，则表示方程 x2  x  1  0 的一个正根的是（ ） A．线段 BM 的长 B．线段 AM 的长 C．线段 BE 的长 D．线段 AE 的长 a 5．若对于任意实数 a，b，c，d，定义 b 0，则 x 的值为（ 3 A． x 1 x d ＝ad－bc，按照定义，若 x  1 2 x  3 ＝ c ） B．  3 C．3 D． �3 2 2 6．若关于 x 的方程  x  2 x   2  x  2 x   8  0 有实数根，则 x 2  2 x 的值为（ 2 A．－4 C．－4 或 2 B．2 ） D．4 或－2 2 2 7．已知关于 x 的一元二次方程 x  2mx  m  m  0 的两实数根为 x1 , x2 ，且满足 x1 x2  2 ，则 x1  x2 A．4 的值为（ B．-4 ） C．4 或-2 D．-4 或 2 8．若 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2 2 kx＋4k = 0 的两个实数根，且 a2＋b2＝12，则 k 的值是（ ） A． 1 B．3 D． 3 或 1 C． 1 或 3 9．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均 每周作业时长为 a 分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时 长比去年上半年减少了 70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为 x，则可列方程为（ ） a  1  x   70%a 2 A． a  1  x   70%a 2 B． a  1  x   30%a 2 C． 30%  1  x  a  a 2 D． 10．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始移动，点 P 的速度为 1cm/秒，点 Q 的速度为 2cm/秒，点 Q 移动到点 C 后停 止，点 P 也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ 的面积为 15cm2 的是（ A．2 秒钟 B．3 秒钟 C．3 秒钟或 5 秒钟 ） D．5 秒钟 11．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”，执行该程序框图，如果输出 M 的值为 5，那么输入 x 的值为（ A．－8 B．－2 C．1 ） D．8 二、填空题 12．关于 x 的方程 ax2－2bx－3＝0(ab≠0)两根为 m，n，且(2am2－4bm＋2a)(3an2－6bn －2a)＝54，则 a 的值为______． 13．若 x1 ， x2 14．已知 x  2  x 2  x1  2   x22  x2  2  的值为______． 是方程 x  x  1  0 的两根，则 1 3  5 ，那么 2 x 2  6 x  3 的值是______． 2 15．已知矩形的长和宽分别为 a 和 b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别 是已知矩形的三分之一，则 a，b 应该满足的条件为 _____． 2 16．已知一元二次方程 x  14 x  48  0 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形 的周长______． 17．若两个最简二次根式 3a 2  8 与 10  3a 是同类二次根式，则 a =_____________． 1 1   18．设 x1 , x2 是一元二次方程 x 2  5 x  3  0 的两个根，则 x1 x2 __________． a 19．已知 6a 2 －100a＋7＝0 以及 7b 2 －100b＋6＝0，且 ab≠1，则 的值为__________． b 20．电影《长津湖之水门桥》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的 追捧，某地第一天票房约 3 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累 计达 10 亿元，若把增长率记作 x，则方程可以列为___________． 21．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D 是边 AB 上的一点， 将△BCD 沿直线 CD 翻折，使点 B 落在点 B1 的位置，若 B1D⊥BC，则 BD 的长度为 _____． 22．如图，在一块长为 22m，宽为 14m 的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影 部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为 240m2，则小路的宽为________m． 23．如图，在矩形 ABCD 中， AB  6，AD  5 ，点 E 是 AB 上一点，且 BE  5 ，连接 CE，点 F 是线段 DC 上一点，将 VADF 沿 AF 折叠，使得点 D 的对应点 D�落在线段 CE 上， 则 DF 的长度为___________． 三、解答题 24．解方程 2 （1） x  6 x  9991  0 ； （2） 2 2 （3） x  2a  3ax （配方法）；  2 x  3 2  5  2 x  3  6  0 ； 2 （4） mx  2 x  1  0 . 25．阅读材料：若 m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求 m、n 的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0 ∴(m－n)2＋(n－4)2＝0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0，∴n＝4，m＝4. 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知 a2＋6ab＋10b2＋2b＋1＝0，求 a－b 的值； (2)已知△ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 2a2＋b2－4a－6b＋11＝0，求 △ABC 的周长； (3)已知 x＋y＝2，xy－z2－4z＝5，求 xyz 的值. 26．关于 x 的方程 x 2   m  2  x   2m  1  0 (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根． (2)若此方程的一个根为 1，求 m 的值： (3)求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长 27．苏科版九上数学 p31 阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同， 但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想， 我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它 转化为 x（x2+x﹣2）＝0，解方程 x＝0 和 x2+x﹣2＝0，可得方程 x3+x2﹣2x＝0 的解． （1）问题：方程 x3+x2﹣2x＝0 的解是 x1＝0，x2＝　　，x3＝　　； （2）用“转化”思想求方程 2x  3 （3）拓展：若实数 x 满足 x2+ ＝x 的解； 1 3 1  3x  ＝2，求 x+ 的值 2 x x x 28．2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在一开售时，就深受大家的喜欢．某 供应商今年 2 月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个冰墩墩的进价比一个“雪容 融”的进价多 40 元，购买 20 个“冰墩墩”和 30 个“雪容融”的金额相同． (1)今年 2 月第一周每个“冰墩墩”和“雪容融”的进价分别是多少元？ (2)今年 2 月第一周，供应商以以 150 元每个售出“冰墩墩”120 个，以 100 元每个售出 “雪容融”150 个．第二周供应商决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，每个“雪容融”的 售价在第一周的基础上下降了 m 元，由于冬奥赛事的火热进行，第二周“冰墩墩”的销量比 14 第一周增加了 3 m 个，“雪容融”的销量比第一周增加了 m 个，最终商家获利 6600 元，求 m ． 参考答案 1．C 【分析】 根据方程根的定义，代入化简计算即可． 2  a  a �0  解：∵方程 x  bx  a  0 ，有一个根是 ， ∴ ∴ ∵ a 2  ab  a  0 a (a  b  1)  0 a �0 ， ∴ a  b 1  0 ， ∴ a  b  1 ， 故选：C． ， ， 【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，熟练 掌握定义是解题的关键． 2．C 【分析】 设印刷不清的数字是 a，根据完全平方公式展开得出 x2-2px+p2=7，求出 x2-2px+4=11p2，再根据题意得出-2p=-6，a=11-p2，最后求出答案即可． 解：设印刷不清的数字是 a， （x-p）2=7， x2-2px+p2=7， ∴x2-2px=7-p2， ∴x2-2px+4=11-p2， ∵方程 x2-6x+4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x-p）2=7 的形 式， ∴-2p=-6，a=11-p2， ∴p=3，a=11-32=2， 即印刷不清的数字是 2， 故选：C． 【点拨】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p=-6 是解此题的关键． 3．C 【分析】 首先根据算术平方根及绝对值的非负性，即可求得 a、b 的值，再把 a、b 的值代入代 数式，即可求得其值． Q 4a 2  4ab  b 2  a  1  0 ， 4a 2  4ab  b 2 �