2021-2022 学年湘教新版九年级下册数学《第 2 章 圆》单元测 试卷 一．选择题 1．下列说法，正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是弧 D．过圆心的线段是直径 2．⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD，则正确结论是（　　） A．AB＝AD B．BC＝CD C． ＝ D．∠BCA＝∠DCA 3．已知 AB 是半径为 6 的圆的一条弦，则 AB 的长不可能是（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 4．如图，四边形 PAOB 是扇形 OMN 的内接矩形，顶点 P 在弧 MN 上，且不与 M，N 重合， 当 P 点在弧 MN 上移动时，矩形 PAOB 的形状、大小随之变化，则 PA2+PB2 的值（ 　） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 5．如图，在半径为 1 的⊙O 上任取一点 A，连续以 1 为半径在⊙O 上截取 AB＝BC＝CD， 分别以 A、D 为圆心 A 到 C 的距离为半径画弧，两弧交于 E，以 A 为圆心 O 到 E 的距离 为半径画弧，交⊙O 于 F．则△ACF 面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图，四边形 ADBC 内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB 等于（　　） A．131° B．119° C．122° D．58° 7．下列说法中，正确的个数有：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的 两条弧；（2）半圆是弧；（3）长度相等的弧是等弧；（4）平分弦的直径垂直于这条 弦．（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画 描绘了筒车的工作原理，如图 1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，如图 2．已知圆心 O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，⊙O 半径长为 4 米． 若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是（　　） A．1 米 B．（4﹣ ）米 C．2 米 D．（4+ ）米 9．如图，AD 是⊙O 的直径， A．40° B．50° ，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是（　　） C．60° D．70° 10．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，点 P 在劣弧 AB 上，连接 DP，交 AC 于点 Q．若 QP ＝QO，则 A． 的值为（　　） B． C． D． 二．填空题 11．如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，∠ACB＝60°，则∠AOB 的度数为　 　． 12．如图，圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD 的长为 ． 13．如图，以点 P 为圆心，以 2 为半径的圆弧与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （2，0），点 B 的坐标为（6，0），则圆心 P 的坐标为　 　． 14．如图，在⊙O 中，半径为 5，∠AOB＝60°，则弦长 AB＝　 　． 15．将一个含有 60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上， O 为圆心，则 ∠ACO＝　 　度． 16．如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边 PA，PB 与⊙O 的交点分别为 C、D．若 ＝ ，则∠P 的大小为　 　度． ＝ 17．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，PA ＝PB ，∠P＝60°，则弧 CD 所对的圆心角等于 度． 18．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是 上一点，且 ＝ ，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为　 　度． 19．如图，在⊙O 中，直径 CD 与弦 AB 相交于点 E，若 BE＝3，AE＝4，DE＝2，则⊙O 的 半径是　 　． 20．把一个圆心为 O，半径为 r 的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的 四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是　 　． 三．解答题 21．如图，CD 是⊙O 的直径，点 A 在 DC 的延长线上，∠A＝20°，AE 交⊙O 于点 B，且 AB ＝OC． （1）求∠AOB 的度数． （2）求∠EOD 的度数． 22．如图，在⊙O 中，弦 AB 与 DC 相交于 E，且 BE＝DE，求证： ＝ 23．已知：如图，△ABC 内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O 的半径． 24．如图，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，圆心 O 在 AD 上，OC∥AB． （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）若 AC＝8， （3）若点 B 为 ，试求⊙O 的半径； 的中点，试判断四边形 ABCO 的形状． ． 25．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，以点 A 为圆心，AC 长为半径作圆，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 DE． （1）若∠ABC＝20°，求∠DEA 的度数； （2）若 AC＝3，AB＝4，求 CD 的长． 26．如图，小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为 2.5 m（手臂与拉直的绳子在一条直 线上）手臂肩部距地面 1.5 m．当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区 域是多少？并画出平面图． 27．如图，⊙O 的半径均为 R． （1）请在图①中画出弦 AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图 ②中画出弦 AB，CD，使图②仍为中心对称图形； （2）如图③，在⊙O 中，AB＝CD＝m（0＜m＜2R），且 AB 与 CD 交于点 E，夹角为锐 角 α．求四边形 ACBD 的面积（用含 m，α 的式子表示）； （3）若线段 AB，CD 是⊙O 的两条弦，且 AB＝CD＝ R，你认为在以点 A，B，C，D 为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：A、弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都 是直径．故本选项错误； B、弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是 所有的弧都是半圆．故本选项错误； C、圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是 弧是正确的． D、过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误． 故选：C． 2．解：∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴ ＝ ， ∴BC＝CD． 故选：B． 3．解：∵圆的半径为 6， ∴直径为 12， ∵AB 是一条弦， ∴AB 的长应该小于等于 12，不可能为的 14， 故选：D． 4．解：∵直角△PAB 中，AB2＝PA2+PB2， 又∵矩形 PAOB 中，OP＝AB， ∴PA2+PB2＝AB2＝OP2． 故选：C． 5．解：连 OA，OB，AD，DF，过 A 作 AG⊥CF 于 G 点，连 OE 交⊙O 于 N，连 AN，如图， ∵AB＝OA＝OB＝1， ∴△OAB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴弧 AB 的度数＝60°， 又∵AB＝BC＝CD， ∴弧 AB＝弧 BC＝弧 CD， ∴弧 ABD 的度数＝3×60°＝180°， ∴AD 为⊙O 的直径，∠CFA＝60°， ∵AN＝AF＝OE＝ ，∴AD 平分 NF，∴EF 过 O 点， ∴弧 FD＝弧 FA， ∴△FAD 为等腰直角三角形， ∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA＝ AD＝ 在 Rt△AGF 中，GF＝ AF＝ ，AG＝ 在 Rt△AGC 中，CG＝AG＝ ∴S△ACF＝ CF•AG＝ ×（ ， GF＝ ， ， + ）× 故选：D． 6．解：∵∠AOB＝122°， ∴∠D＝ ∠AOB＝61°， ∵四边形 ADBC 为⊙O 内接四边形， ＝ ． ∴∠ACB+∠D＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°． 故选：B． 7．解：（1）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，故符合题意； （2）半圆是弧，故符合题意； （3）在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故不符合题意； （4）平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，故不符合题意； 其中真命题的个数有 2 个； 故选：C． 8．解：连接 OC 交 AB 于 D，连接 OA， ∵点 C 为运行轨道的最低点， ∴OC⊥AB， ∴AD＝ AB＝3（米）， 在 Rt△OAD 中，OD＝ ＝ ＝ （米）， ∴点 C 到弦 AB 所在直线的距离 CD＝OC﹣OD＝（4﹣ 故选：B． ）米， 9．解：∵ ＝ ， ∴∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BPC＝ ∠BOC＝50°， 故选：B． 10．解：如图，设⊙O 的半径为 r，QO＝m，则 QP＝m，QC＝r+m， QA＝r﹣m． 在⊙O 中，根据相交弦定理，得 QA•QC＝QP•QD． 即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以 QD＝ 连接 DO，由勾股定理，得 QD2＝DO2+QO2， 即 ， 解得 所以， 故选：D． 二．填空题 11．解：∵点 A、B、C 都在⊙O 上，∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， 故答案为：120°． ． 12．解：∵∠A＝22.5°， ∴∠BOC＝2∠A＝45°， ∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD， ∴CE＝DE，△OCE 为等腰直角三角形， ∴CE＝ ， OC＝2 ∴CD＝2CE＝4 故答案为 4 ． ． 13．解：作 PC⊥AB 于 C，如图， ∵点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（6，0）， ∴OA＝2，OB＝6， ∴AB＝OB﹣OA＝4， ∵PC⊥AB， ∴AC＝BC＝2， 在 Rt△PAC 中，∵PA＝2 ∴PC＝ ，AC＝2， ＝4， ∵OC＝OA+AC＝4， ∴P 点坐标为（4，4）． 故答案为（4，4）． 14．解：∵OA＝OB＝5，∠AOB＝60°， ∴△OAB 为等边三角形， 故 AB＝5． 故答案为：5． 15．解：由图可知，∠OBC＝60° ∵OC＝OB ∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BCO＝60° 则∠ACO＝120°． 16．解：连接 OC、OD， ∵ ＝ ＝ ， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴△AOC 和△BOD 都是等边三角形， ∴∠A＝60°，∠B＝60°， ∴∠P＝60°， 故答案为：60． 17．解：连接 OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝