中学生数学冬令营模拟训练题 第一天 08：00--12：30 �x 3  y 3  z 3  3xyz  2011 � x �15 1.求所有三元整数组 ，使其满足 � � y �15 ( x, y , z ) � 2.如图，点 点 P KC A,B,C,D,E 在一条直线上顺次排列，满足 在该直线外，满足 平分 证明： �BKE ， A, K , L, E LC PB  PD 平分 ．点 �ALD K, L BC  CD  AB �DE ， 分别在线段 PB, PD 上，满足 . 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上） 3.将一个凸 2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的 边各 673 条．证明：可作这个凸 2019 边形的 2016 条在内部互不相交的对角线将 其剖分成 2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之 一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同． 第二天 08：00--12：30 1. 设正实数 记 xk  a1 , a2 ,L , a100 ai �a101i （ i  1, 2,L ,50 ）． kak 1 99 �1 。 a1  a2  L  ak （ k  1, 2,L , 99 ），证明： x1 x22 L x99 2、如图，点 ω CP 过点 与 线段 XY 3.设 满足 D 是锐角 B ,C AB Δ ABC 的外接圆 的切线分别相交于点 的交点为 Y ， BQ 与 ω BC 上弧 P ,Q CP , BQ 的中点，直线 与 的交点为 AC T DA 的交点为 ．求证： AT 与圆 X ， 平分 ． （答题时请将图画在答卷纸上） Δ ABC 是一个边长为 2 √3 的等边三角形，在 Δ ABC 的内部和边界上任取 11 个点. (1) 证明：一定存在两个点，它们之间的距离小于或等于 1 ； (2) 证明：一定存在两个点，它们之间的距离严格小于 1 . 参考答案 第一天 08：00--12：30 �x 3  y 3  z 3  3xyz  2011 � x �15 1.求所有三元整数组 ，使其满足 � � y �15 ( x, y , z ) � 解：由 3 3 3 x + y + z −3 xyz=2011 ， 得 ( x+ y+ z ) [ ( x− y )2 + ( y−z )2 + ( z−x )2 ]=4022 ① 因 4022=2011×2 ，且 ( x− y ) + ( y −z ) + ( z−x ) ≡0 2 { x + y + z=1 ( x − y )2 + ( y− z )2 + ( z− x )2= 4022 对方程组②，消去 z 得 2 ②或 2 ( mod 2 ) ，所以①等价于 { x + y + z=2011 ( x − y )2 + ( y−z )2 + ( z−x )2=2 ③ ( x− y )2 + ( x +2 y−1 )2 + ( 2 x + y−1 )2 =4022 ，即 x 2 + y 2 +xy −x− y=670 ④ 2 2 ⑴若 x=15 ， y=15 ，则 x + y +xy −x− y=645<670 与④矛盾； ⑵若 x≥16 ， y≥15 ，则 x +( y −1)( x + y )≥256+434=690> 670 与④矛盾； ⑶若 x≥15 ， y≥16 ，则 y +( x−1)( x + y )≥256+434=690> 670 与④矛盾； 2 2 综上方程组②无解； ( x− y )2 + ( y −z )2 + ( z−x )2 =2 对方程组③，由 有两个为 1 |x−y|=1 ⑴若 y +1=x=z y=671 0 ，一个为 ， ， 可得 |x−y| ， |y−z| |z−x| 中 y−1=x=z ， ， 。 |y−z|=1 |z−x|=0 ， 代入③的第一个方程，无解； ，则 y +1=x=z y−1=x=z 或 代入③的第一个方程，解得 x=z=670 ⑵若 |x−y|=1 ， |y−z|=0 ， |z−x|=1 ，同理可得 x=671 ， y=z=670 ⑶若 |x−y|=0 ， |y−z|=1 ， |z−x|=1 ，同理可得 z=671 ， x= y=670 综上，满足条件的三元数组为 2.如图，点 点 A,B,C,D,E ( 671,670,670 ) ， ( 670,671,670 ) 在一条直线上顺次排列，满足 ， ( 670,670,671 ) BC  CD  AB �DE ， P 在该直线外，满足 PB  PD ．点 K , L 分别在线段 PB, PD 上，满足 KC 平分 证明： �BKE ， A, K , L, E LC 平分 �ALD . 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上） 2 证明：令 AB  1 ， BC  CD  t （ t  0 ），由条件知 DE  t ． 0 注意到 �BKE  �ABK  �PDE  180  �DEK ，可在 CB 延长线上取一点 A� KE  �ABK  �A� BK ． ………………10 分 ，使得 �A� A� B A� K BK   此时有 A� K A� E KE ． ………………20 分 BK : A� KE ，故 A� BK BC t 1    2 又 KC 平分 �BKE ，故 KE CE t  t 1  t ．于是有 2 A� B A� B A� K �BK � 1 AB  �  � � 2  A� E A� K A� E �KE � t  2t  1 AE ． …………30 分 BE BE  由上式两端减 1，得 A� 与 A 重合． E AE ，从而 A� KE  �ABK ． 因此 �AKE  �A� 同理可得 �ALE  �EDL ．而 �ABK  �EDL ，所以 �AKE  �ALE ． 因此 A, K , L, E 四点共圆． ………………50 3.将一个凸 2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的 边各 673 条．证明：可作这个凸 2019 边形的 2016 条在内部互不相交的对角线将 其剖分成 2017 个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之 一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同． 证明： 我们对 n �5 归纳证明加强的命题：如果将凸 n 边形的边染为三种颜色 a , b, c ，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分．… ………10 分 当 n  5 时，若三种颜色的边数为 1,1,3 ,由对称性，只需考虑如下两种情形， 分别可作图中所示的三角形剖分． 若三种颜色的边数为 1, 2, 2 ,由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可 作图中所示的三角形剖分． …… 20 分 假设结论对 n （ n �5 ）成立，考虑 n  1 的情形，将凸 n  1 边形记为 A1 A2 L An 1 ． 情形 1：有两种颜色的边各只有一条．不妨设 a, b 色边各只有一条．由于 n  1 �6 ，故存在连续两条边均为 c 色，不妨设是 An An 1 , An 1 A1 ．作对角线 A1 An ， 并将 A1 An A1 A2 L An 染为 c 色，则三角形 An An1 A1 的三边全部同色．此时凸 n 边形 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三 角形剖分．………………30 分 情形 2：某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条．不妨设 a 色边只 有一条，于是可以选择两条相邻边均不是 a 色，不妨 作对角线 A1 An ，则 A1 An An An 1 , An 1 A1 有唯一的染色方式，使得三角形 色或互不同色．此时凸 n 边形 A1 A2 L An An An 1 A1 设均不是 a 色， 的三边全部同 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳 假设，可对其作符合要求的三角形剖分． ………………40 分 情形 3：每种颜色的边均至少两条．作对角线 使得三角形 An An1 A1 A1 An ，则 A1 An 有唯一的染色方式， 的三边全部同色或互不同色．此时凸 n 边形 A1 A2 L An 的三 种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分． 综合以上 3 种情形，可知 n  1 的情形下结论也成立． 由数学归纳法，结论获证． ………………50 分 第二天 08：00--12：30 1. 设正实数 记 xk  a1 , a2 ,L , a100 满足 ai �a101i （ i  1, 2,L ,50 ）． kak 1 99 �1 。 a1  a2  L  ak （ k  1, 2,L , 99 ），证明： x1 x22 L x99 证明： 注意到 a1 , a2 ,L , a100  0 ．对 k  1, 2,L , 99 ，由平均值不等式知 k � � k 1 0� �� ， ……………10 分 �a1  a2  L  ak � a1a2 L ak 99 k 从而有 x x L x  �a 2 1 2 99 99 k 1 k k 1 � � 99 akk1 k � ��� ． ① ……………… �a1  a2  L  ak � k 1 a1a2 L ak 20 分 记①的右端为 T ，则对任意 T 的分母中的次数为 100 T  �a i 1 又 2 i 101 i 50 0  a101i �ai （ ， ai 在 T 的分子中的次数为 i  1 ，在 ．从而 2 i 101 2 101i  101 i 101i  �a i 1 100  i i  1, 2,L ,100 a 101 2i �a �  ��101i � i 1 � ai � 50 。……30 分 99